Los usos y límites de la volatilidad

Abadía de Senanque en Provenza con campos de lavanda

A los inversores les gusta centrarse en la promesa de altos rendimientos, pero también deben preguntar cuánto riesgo deben asumir a cambio de estos rendimientos. Aunque a menudo hablamos de riesgo en un sentido general, también hay expresiones formales de la relación riesgo-recompensa.

Por ejemplo, el índice de nitidez mide el rendimiento en exceso por unidad de riesgo, donde el riesgo se calcula como la volatilidad, que es una medida de riesgo tradicional y popular. Sus propiedades estadísticas son bien conocidas y se alimenta de varios marcos, como la teoría moderna de carteras y el modelo de Black-Scholes. En este artículo, examinamos la volatilidad para comprender sus usos y sus límites.

desviación estándar anualizada

a diferencia de la volatilidad implícita, que pertenece a la teoría de precios de opciones y es una estimación prospectiva basada en un consenso del mercado, la volatilidad regular se ve hacia atrás. específicamente, es la desviación estándar anualizada de los rendimientos históricos.

Los marcos de riesgo tradicionales que se basan en la desviación estándar generalmente suponen que los retornos se ajustan a una distribución normal en forma de campana. las distribuciones normales nos dan pautas prácticas: aproximadamente dos tercios de las veces (68.3%), los rendimientos deben caer dentro de una desviación estándar (+/-); y el 95% de las veces, los rendimientos deben caer dentro de dos desviaciones estándar. Dos cualidades de un gráfico de distribución normal son “colas” delgadas y una simetría perfecta. Las colas delgadas implican una ocurrencia muy baja (aproximadamente 0.3% del tiempo) de retornos que están a más de tres desviaciones estándar del promedio. La simetría implica que la frecuencia y magnitud de las ganancias al alza es una imagen especular de las pérdidas a la baja.

en consecuencia, los modelos tradicionales tratan toda incertidumbre como riesgo, independientemente de la dirección. Como muchas personas han demostrado, eso es un problema si los rendimientos no son simétricos: los inversores se preocupan por sus pérdidas “a la izquierda” del promedio, pero no les preocupan las ganancias a la derecha del promedio.

A continuación ilustramos este capricho con dos acciones ficticias. el stock descendente (línea azul) no tiene dispersión y, por lo tanto, produce una volatilidad de cero, pero el stock ascendente, debido a que presenta varios choques al alza pero no una sola caída, produce una volatilidad (desviación estándar) del 10%.

propiedades teóricas

por ejemplo, cuando calculamos la volatilidad para el índice s & p 500 a partir de enero. 31, 2004, llegamos del 14.7% al 21.1%. ¿Por qué tal rango? porque debemos elegir tanto un intervalo como un período histórico. con respecto al intervalo, podríamos recopilar una serie de devoluciones mensuales, semanales o diarias (incluso intradiarias). y nuestra serie de devoluciones puede extenderse a lo largo de un período histórico de cualquier duración, como tres años, cinco años o 10 años. a continuación, hemos calculado la desviación estándar de los rendimientos para el s & p 500 durante un período de 10 años, utilizando tres intervalos diferentes:

observe que la volatilidad aumenta a medida que aumenta el intervalo, pero no en proporción: el semanario no es casi cinco veces la cantidad diaria y el mensual no es casi cuatro veces el semanal. Hemos llegado a un aspecto clave de la teoría de la caminata aleatoria: escalas de desviación estándar (aumentos) en proporción a la raíz cuadrada del tiempo. por lo tanto, si la desviación estándar diaria es 1.1%, y si hay 250 días de negociación en un año, la desviación estándar anualizada es la desviación estándar diaria de 1.1% multiplicada por la raíz cuadrada de 250 (1.1% x 15.8 = 18.1%) . sabiendo esto, podemos anualizar las desviaciones estándar del intervalo para el s & p 500 multiplicando por la raíz cuadrada del número de intervalos en un año:

Otra propiedad teórica de la volatilidad puede o no sorprenderle: erosiona los retornos. Esto se debe a la suposición clave de la idea de caminata aleatoria: que los retornos se expresan en porcentajes. imagine que comienza con $ 100 y luego gana un 10% para obtener $ 110. entonces pierde el 10%, lo que le da $ 99 ($ ​​110 x 90% = $ 99). entonces ganas 10% nuevamente, hasta $ 108.90 netos ($ 99 x 110% = $ 108.9). finalmente, pierde un 10% a $ 98.01 netos. puede ser contra-intuitivo, ¡pero su principal se está erosionando lentamente a pesar de que su ganancia promedio es del 0%!

si, por ejemplo, espera una ganancia anual promedio de 10% por año (es decir, promedio aritmético), resulta que su ganancia esperada a largo plazo es algo menor al 10% por año. de hecho, se reducirá en aproximadamente la mitad de la varianza (donde la varianza es la desviación estándar al cuadrado). en el siguiente hipotético puro, comenzamos con $ 100 y luego imaginamos cinco años de volatilidad para terminar con $ 157:

el rendimiento anual promedio durante los cinco años fue del 10% (15% + 0% + 20% – 5% + 20% = 50% ÷ 5 = 10%), pero la tasa de crecimiento anual compuesta (cagr o rendimiento geométrico) es una medida más precisa de la ganancia realizada, y fue solo el 9,49%. la volatilidad erosionó el resultado, y la diferencia es aproximadamente la mitad de la varianza del 1.1%. estos resultados no son de un ejemplo histórico, sino en términos de expectativas, dada una desviación estándar de

σ\sigma

σ  (la varianza es el cuadrado de la desviación estándar),

σ2\ sigma ^ {2}

σ2  y una ganancia promedio esperada de

μ\ mu

μ  el rendimiento anualizado esperado es aproximadamente

μ(σ2÷2).\ mu – (\ sigma ^ 2 \ div2).

μ ( σ2 ÷2).

¿Se comportan bien las devoluciones?
El marco teórico es, sin duda, elegante, pero depende de rendimientos bien comportados. a saber, una distribución normal y una caminata aleatoria (es decir, independencia de un período al siguiente). ¿Cómo se compara esto con la realidad? recolectamos retornos diarios durante los últimos 10 años para el s & p 500 y nasdaq a continuación (alrededor de 2,500 observaciones diarias):

como es de esperar, la volatilidad de nasdaq (desviación estándar anualizada del 28.8%) es mayor que la volatilidad del s & p 500 (desviación estándar anualizada del 18.1%). Podemos observar dos diferencias entre la distribución normal y los rendimientos reales. primero, los retornos reales tienen picos más altos, lo que significa una mayor preponderancia de retornos cerca del promedio. segundo, los rendimientos reales tienen colas más gordas. (nuestros hallazgos se alinean de alguna manera con estudios académicos más extensos, que también tienden a encontrar picos altos y colas gruesas; el término técnico para esto es curtosis). supongamos que consideramos menos tres desviaciones estándar como una gran pérdida: el s & p 500 experimentó una pérdida diaria de menos tres desviaciones estándar aproximadamente -3.4% del tiempo. la curva normal predice que tal pérdida ocurriría aproximadamente tres veces en 10 años, ¡pero en realidad sucedió 14 veces!

Estas son distribuciones de rendimientos de intervalos separados, pero ¿qué dice la teoría sobre los rendimientos a lo largo del tiempo? como prueba, echemos un vistazo a las distribuciones diarias reales del s & p 500 anterior. en este caso, el rendimiento anual promedio (en los últimos 10 años) fue de aproximadamente 10.6% y, como se discutió, la volatilidad anualizada fue de 18.1%. aquí realizamos una prueba hipotética comenzando con $ 100 y manteniéndolo durante 10 años, pero exponemos la inversión cada año a un resultado aleatorio que promedió 10.6% con una desviación estándar de 18.1%. esta prueba se realizó 500 veces, por lo que es una simulación llamada monte carlo. A continuación se muestran los resultados del precio final de 500 ensayos:

una distribución normal se muestra como telón de fondo únicamente para resaltar los resultados de precios muy no normales. técnicamente, los resultados del precio final son lognormales (lo que significa que si el eje x se convirtiera en un logaritmo natural de x, la distribución se vería más normal). el punto es que varios resultados de precios están muy a la derecha: de 500 ensayos, ¡seis resultados produjeron un resultado de final de período de $ 700! Estos preciosos resultados lograron ganar más del 20% en promedio, cada año, durante 10 años. en el lado izquierdo, debido a que un saldo decreciente reduce los efectos acumulativos de las pérdidas porcentuales, solo obtuvimos un puñado de resultados finales que fueron inferiores a $ 50. Para resumir una idea difícil, podemos decir que los rendimientos de los intervalos, expresados ​​en términos porcentuales, se distribuyen normalmente, pero los resultados del precio final se distribuyen normalmente en el registro.

finalmente, otro hallazgo de nuestras pruebas es consistente con los “efectos de erosión” de la volatilidad: si su inversión ganara exactamente el promedio cada año, tendría aproximadamente $ 273 al final (10.6% compuesto durante 10 años). pero en este experimento, nuestra ganancia esperada general fue más cercana a $ 250. en otras palabras, la ganancia anual promedio (aritmética) fue de 10.6%, pero la ganancia acumulativa (geométrica) fue menor.

Es fundamental tener en cuenta que nuestra simulación supone un recorrido aleatorio: supone que los retornos de un período al siguiente son totalmente independientes. no lo hemos probado de ninguna manera, y no es una suposición trivial. Si cree que los retornos siguen las tendencias, técnicamente está diciendo que muestran una correlación serial positiva. Si cree que vuelven a la media, técnicamente está diciendo que muestran una correlación serial negativa. ninguna postura es consistente con la independencia.

La
volatilidad del resultado final es la desviación estándar anualizada de los rendimientos. en el marco teórico tradicional, no solo mide el riesgo, sino que afecta la expectativa de retornos a largo plazo (de períodos múltiples). como tal, nos pide que aceptemos las dudosas suposiciones de que los retornos de intervalo normalmente están distribuidos e independientes. Si estas suposiciones son ciertas, la alta volatilidad es un arma de doble filo: erosiona su rendimiento esperado a largo plazo (reduce el promedio aritmético al promedio geométrico), pero también le brinda más oportunidades de obtener algunas grandes ganancias.