Cálculo del valor presente y futuro de las anualidades

Abadía de Senanque en Provenza con campos de lavanda

la mayoría de nosotros hemos tenido la experiencia de hacer una serie de pagos fijos durante un período de tiempo, como pagos de alquiler o automóvil, o recibir una serie de pagos por un período de tiempo, como intereses de un bono o un CD. técnicamente se conocen como “anualidades” (que no deben confundirse con el producto financiero llamado anualidad, aunque las dos están relacionadas).

Hay varias formas de medir el costo de hacer tales pagos o lo que finalmente valen. Esto es lo que necesita saber sobre el cálculo del valor presente o el valor futuro de una anualidad.

conclusiones clave

  • los pagos regulares, como el alquiler de un apartamento o los intereses de un bono, a veces se denominan “anualidades”.
  • en anualidades ordinarias, los pagos se realizan al final de cada período de tiempo. con anualidades vencidas, se hacen al principio.
  • El valor futuro de una anualidad es el valor total de los pagos en un momento específico. El valor presente es cuánto dinero se necesitaría ahora para producir esos pagos futuros.

dos tipos de anualidades

anualidades, en este sentido de la palabra, se dividen en dos tipos básicos: anualidades ordinarias y anualidades vencidas.

  • anualidades ordinarias: una anualidad ordinaria realiza (o requiere) pagos al final de cada período. por ejemplo, los bonos generalmente pagan intereses al final de cada seis meses.
  • anualidades vencidas: con una anualidad vencida, por el contrario, los pagos se realizan al comienzo de cada período. El alquiler, que los propietarios suelen exigir al comienzo de cada mes, es un ejemplo común.

puede calcular el valor presente o futuro para una anualidad ordinaria o una anualidad vencida utilizando las siguientes fórmulas.

calcular el valor futuro de una anualidad ordinaria

El valor futuro (fv) es una medida de cuánto valdrá una serie de pagos regulares en algún momento en el futuro, dada una tasa de interés específica. así, por ejemplo, si planea invertir una cierta cantidad cada mes o año, le informará cuánto habrá acumulado en una fecha futura. Si realiza pagos regulares de un préstamo, el valor futuro es útil para determinar el costo total del préstamo.

considere, por ejemplo, una serie de cinco pagos de $ 1,000 realizados a intervalos regulares:

debido al valor temporal del dinero, el concepto de que cualquier suma dada vale más ahora que en el futuro porque puede invertirse mientras tanto, el primer pago de $ 1,000 vale más que el segundo, y así sucesivamente. entonces, supongamos que invierte $ 1,000 cada año durante los próximos cinco años, con un interés del 5%. esto es lo que tendría al final del período de cinco años:

sin embargo, en lugar de calcular cada pago individualmente y luego sumarlos todos, puede usar esta fórmula, que le indicará cuánto dinero tendría al final:

fvordinary annuity=c×[(1+i)n1i]where:c=cash flow per periodi=interest raten=number of payments\ begin {alineado} & \ text {fv} _ {\ text {ordinario ~ anualidad}} = \ text {c} \ times \ left [\ frac {(1 + i) ^ n – 1} {i} \ right ] \\ & \ textbf {donde:} \\ & \ text {c} = \ text {flujo de caja por período} \\ & i = \ text {tasa de interés} \\ & n = \ text {número de pagos} \\ \ end {alineado}fvanualidad ordinaria= c × [yo( 1 + i )n1]dónde:c = flujo de caja por períodoi = tasa de interésn = número de pagos

usando el ejemplo anterior, así es como funcionaría:

fvordinary annuity=$1,000×[(1+0.05)510.05]=$1,000×5.53=$5,525.63\ begin {alineado} \ text {fv} _ {\ text {ordinario ~ anualidad}} & = \ $ 1,000 \ times \ left [\ frac {(1 + 0.05) ^ 5 -1} {0.05} \ right] \\ & = \ $ 1,000 \ times 5.53 \\ & = \ $ 5,525.63 \\ \ end {alineado}fvanualidad ordinaria= $ 1 , 0 0 0 × [0 . 0 5( 1 + 0 . 0 5 )51]= $ 1 , 0 0 0 × 5 . 5 3= $ 5 , 5 2 5 . 6 3

tenga en cuenta que la diferencia de un centavo en estos resultados, $ 5,525.64 vs. $ 5,525.63, se debe al redondeo en el primer cálculo.

calcular el valor presente de una anualidad ordinaria

en contraste con el cálculo del valor futuro, un cálculo del valor presente (pv) le indica cuánto dinero se necesitaría ahora para producir una serie de pagos en el futuro, asumiendo nuevamente una tasa de interés establecida.

usando el mismo ejemplo de cinco pagos de $ 1,000 realizados durante un período de cinco años, así es como se vería un cálculo del valor presente. muestra que $ 4,329.58, invertidos al 5% de interés, serían suficientes para producir esos cinco pagos de $ 1,000.

Esta es la fórmula aplicable:

pvordinary annuity=c×[1(1+i)ni]\ begin {alineado} y \ text {pv} _ {\ text {ordinario ~ anualidad}} = \ text {c} \ times \ left [\ frac {1 – (1 + i) ^ {-n}} {i } \ right] \\ \ end {alineado}pvanualidad ordinaria= c × [yo1 ( 1 + i )n]

conectando los mismos números que arriba en la ecuación, aquí está el resultado:

pvordinary annuity=$1,000×[1(1+0.05)50.05]=$1,000×4.33=$4,329.48\ begin {alineado} \ text {pv} _ {\ text {ordinario ~ anualidad}} & = \ $ 1,000 \ times \ left [\ frac {1 – (1 + 0.05) ^ {-5}} {0.05} \ right ] \\ & = \ $ 1,000 \ times 4.33 \\ & = \ $ 4,329.48 \\ \ end {alineado}pvanualidad ordinaria= $ 1 , 0 0 0 × [0 . 0 51 ( 1 + 0 . 0 5 )5]= $ 1 , 0 0 0 × 4 . 3 3= $ 4 , 3 2 9 . 4 8

calcular el valor futuro de una anualidad vencida

una anualidad anticipada, se recordará, se diferencia de una anualidad ordinaria en que los pagos de la anualidad se hacen debido al comienzo, no el final, de cada período de tiempo:

para contabilizar los pagos que se producen al comienzo de cada período, se requiere una ligera modificación en la fórmula utilizada para calcular el valor futuro de una anualidad ordinaria y resulta en valores más altos, como se muestra aquí:

la razón por la cual los valores son más altos es que los pagos realizados al comienzo del período tienen más tiempo para ganar intereses. por ejemplo, si los $ 1,000 se invirtieron el 1 de enero en lugar del 31 de enero, tendría un mes adicional para crecer.

La fórmula para el valor futuro de una anualidad vencida es:

fvannuity due=c×[(1+i)n1i]×(1+i)\ begin {alineado} \ text {fv} _ {\ text {anualidad vencida}} & = \ text {c} \ times \ left [\ frac {(1 + i) ^ n – 1} {i} \ right] \ times (1 + i) \\ \ end {alineado}fvdebido anualidad= c × [yo( 1 + i )n1] ×(1+i)

o, usando los mismos números que en los ejemplos anteriores:

fvannuity due=$1,000×[(1+0.05)510.05]×(1+0.05)=$1,000×5.53×1.05=$5,801.91\ begin {alineado} \ text {fv} _ {\ text {anualidad vencida}} & = \ $ 1,000 \ times \ left [\ frac {(1 + 0.05) ^ 5 – 1} {0.05} \ right] \ times ( 1 + 0.05) \\ & = \ $ 1,000 \ times 5.53 \ times 1.05 \\ & = \ $ 5,801.91 \\ \ end {alineado}fvdebido anualidad= $ 1 , 0 0 0 × [0 . 0 5( 1 + 0 . 0 5 )51] ×(1+0.05)= $ 1 , 0 0 0 × 5 . 5 3 × 1 . 0 5= $ 5 , 8 0 1 . 9 1

calcular el valor presente de una anualidad vencida

de manera similar, la fórmula para calcular el valor presente de una anualidad adeudada tiene en cuenta el hecho de que los pagos se realizan al comienzo y no al final de cada período.

por ejemplo, podría usar esta fórmula para calcular el valor presente de sus pagos de alquiler futuros según lo especificado en su contrato de arrendamiento. Digamos que paga $ 1,000 al mes en alquiler. Esto es lo que le costarán los próximos cinco meses, en términos de valor presente, suponiendo que haya guardado su dinero en una cuenta con un interés del 5%.

Esta es la fórmula para calcular el valor presente de una anualidad vencida:

pvannuity due=c×[1(1+i)ni]×(1+i)\ begin {alineado} \ text {pv} _ {\ text {anualidad vencida}} = \ text {c} \ times \ left [\ frac {1 – (1 + i) ^ {-n}} {i} \ derecha] \ times (1 + i) \\ \ end {alineado}pvdebido anualidad= c × [yo1 ( 1 + i )n] ×(1+i)

entonces, en este ejemplo:

pvannuity due=$1,000×[(1(1+0.05)50.05]×(1+0.05)=$1,000×4.33×1.05=$4,545.95\ begin {alineado} \ text {pv} _ {\ text {anualidad vencida}} & = \ $ 1,000 \ times \ left [\ tfrac {(1 – (1 + 0.05) ^ {-5}} {0.05} \ right ] \ times (1 + 0.05) \\ & = \ $ 1,000 \ times 4.33 \ times1.05 \\ & = \ $ 4,545.95 \\ \ end {alineado}pvdebido anualidad= $ 1 , 0 0 0 × [0 . 0 5( 1 ( 1 + 0 . 0 5 )5] ×(1+0.05)= $ 1 , 0 0 0 × 4 . 3 3 × 1 . 0 5= $ 4 , 5 4 5 . 9 5

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valor presente de una anualidad

la línea de fondo

Las fórmulas descritas anteriormente hacen posible, y relativamente fácil, si no le importan las matemáticas, determinar el valor presente o futuro de una anualidad ordinaria o una anualidad vencida. si lo prefiere, también puede usar una de estas calculadoras en línea de investopedia (desplácese hacia abajo hasta la sección de anualidades para ver la lista).